线性代数的本质

说明：3Blue1Brown视频的关键点的记录，用来当笔记随时查阅和再学习的。

一、向量的本质

三个视角：

• 物理专业学生：一定方向和长度的箭头，可以自由移动一个向量保持它不变。
• 计算机专业学生：向量是有序的数字列表。
• 数学专业学生：向量可以是任何事物，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。

加法的意义：如[a,b]表示点从原点出发沿x轴正轴移动a，沿y轴正轴移动b。那么[a,b]+[c,d]可以先考虑完x轴移动再考虑y轴移动，于是我们得到[a+c,b+d]
数乘的意义：缩放。

二、线性组合、张成的空间与基

基向量：[a,b]可以理解为将基向量$\vec{i}$,$\vec{j}$分别缩放a,b倍以后相加的结果。
线性组合：其实是向量之间的线性组合，其主体是向量，线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。
张成的空间：v与w全部的线性组合所构成向量集合被称为张成的空间。

三、矩阵与线性变换

变换其实也是一种函数，我们有一个输入向量，然后经过变换之后，得到一个输出向量。整个过程，可以看作是输入的向量移动到了输出的输出的位置。考虑整个平面上的向量，在经过变换之后，得到了一个最新的位置。

四、矩阵乘法与线性变换复合

两个22矩阵a和b相乘，可以看作是对原始空间连续做了两次线性变换，而得到的计算结果c也是一个22的矩阵。使用c对原始空间进行一次线性变换，和连续使用a和b对原始空间进行两次线性变换的效果相同。

矩阵相乘的几何意义是将两次单独的变换变为一次组合变换即可。

该结论到三维空间中也是同样成立的。

五、行列式

如果在二维空间中，我们画出相对应的网格，那么线性变换，就是对这些网格做了拉伸，收缩或者反转。那么如何来定义这种变换的程度呢？就需要用到行列式determinant的概念了。
线性变换后的图形面积缩放比例，正负号与定向有关(右手法则)
在进行线性变换后，原来一个面积为1的单位方格，变成了面积为6的矩形。可以说，线性变换将原空间放大了6倍。
我们知道，行列式的值是有正有负的，那么怎么判断是负数呢？我们可以通过变换后的基向量i和j的方向来判定。

在变换之前，j是在i的左侧的：

如果经过线性变换后，j变成了在i的右侧，那么得到的行列式的值是负的：

那么到三维空间中，行列式的值就告诉我们经过线性变换后，单位体积变化的程度，而行列式的值可以通过右手定则来判定：

行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，理解只需要三步
1，行列式det(A)是针对一个n$\times$n的矩阵A而言的。A表示一个n维空间到n维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个n维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成n维空间中的一个新立方体。
2，原来立方体有一个体积$V_{1}$，新的立方体也有一个体积$V_{2}$ 。
3，行列式det(A)是一个数对不对？这个数其实就是 $V_{2} \div V_{1}$ ，结束了。
行列式的计算：
二阶行列式的计算方法是“对角线法则”：

主对角线元素积与副对角线元素积的差

二阶行列式的法则并不适用三阶行列式。三阶行列式的计算方法如下

这个依然叫“对角线法则”，不过是复杂版的：主对角线乘完以后元素位置要平移一下继续相乘，直到x、y、z分别开过头以后，再分别减去x、y、z开头的副对角线乘积。

六、逆矩阵、列空间与零空间

逆矩阵

如果一个变换AA将空间压缩到了一条线上，那么就说AA的秩是1。如果压缩成一个平面，就是2。 所以，”秩“代表着变换后空间的维数。
比如对于2×22×2的矩阵，秩最大就是2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间。但对于3×33×3矩阵，秩为2意味着空间被压缩了。

列空间

列空间有两种解释：
1）假设矩阵A代表一个矩阵变换，原始空间中所有的向量，在经由矩阵A的变换之后，所得到的所有新向量的集合
2）由矩阵A的列向量所长成的空间
比如下面的例子，[[2,-2],[1,-1]]这个矩阵，将二维空间变换为一条直线，那么这条直线就是矩阵的列空间。

零空间

如果某个向量空间在线性变换之后，存在降维，那么就会有一系列原来不是零向量的向量落到了零向量的位置，所有这些向量的集合构成了零空间。